Проценты

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1. Премия мамы составляет 40 % её оклада, а премия папы - 50 % его заработной платы. Можно ли утверждать, что премия мамы меньше, чем премия папы?

Внимательно прочитав задачу, можно заметить, что проценты в каждом случае находятся от разных величин, значения которых неизвестны. Следовательно, нельзя утверждать, что премия мамы меньше, чем премия папы.

Вывод: Сравнивать числа в процентном представлении  можно только при условии, что процент берётся от одной и той же величины.

Например, в задаче "Два тракториста работают на одном поле. Первый тракторист вспахал за день 30 % поля, а второй - 28 % поля. Кто за день больше вспахал и на сколько?" в обоих случаях процент берётся от одной и той же величины. Значит, их можно сравнивать: первый тракторист вспахал больше на 2 % поля.

Часто бывает проще решить задачу, переформулировав её условие. Рассмотрим пример.

Задача 2. Арбуз весил 20 кг и содержал 99 % воды. Когда он немного усох, то стал содержать 98 % воды. Сколько теперь весит арбуз?

Попробуем решить эту задачу двумя способами: "в лоб" и переформулировав её условие. Заметим, что проценты находятся от разных величин: 99 % от свежего арбуза и 98 % от усохшего. Таким образом, нам надо решить две задачи.   Запишем условие в виде таблицы.

Вода в первом арбузе состовляет 99 % от 20 кг.  99 % · 20 = 0,99 · 20 = 19,8 (кг).

Пусть y - количество испарившейся воды. Тогда в усохшем арбузе воды будет 19,8 - y, а масса арбуза - 20 - y. Так как вода составляет 98 %, то

0,98 · (20 - y) = 19,8 - y

19,6 - 0,98y = 19,8 - y

y - 0,98y = 19,8 - 19,6

0,02y = 0,2

y = 0,2 :0,02

y = 10

Мы нашли, что из арбуза испарилось 10 кг воды.  Теперь найдём массу усохшего арбуза. 20 - 10 = 10 (кг).

Ответ: 10 кг.

Таким способом пятиклассник вряд ли решит задачу. Но если её переформулировать, то она будет решена намного проще. Просто надо вспомнить, что в арбузе кроме воды есть ещё и сухое вещество, масса которого не изменяется.

Запишем условие с помощью таблицы, добавив к ней ещё одну строку.

Заполнив ячейки таблицы для сухого вещества, видим, что нам надо решить задачу на нахождение числа по значению его процентов.

2 : 0,2 = 10 (кг).

Ответ: 10 кг.

Как видим, второе решение гораздо проще.

Вывод: Задача, сформулированная иначе, может решаться проще исходной.

Запись условия с помощью таблицы помогает разобраться в условии задачи, облегчить его запись и подсказать пути решения.

Решим с помощью таблицы задачи на сложные проценты, т.е. задачи, в которых находят проценты от процентов.

Задача 3.

Цену товара снизили на 10 % и через месяц ещё на 10 %. На сколько изменилась первоначальная цена товара после второй уценки?

Решение: Из условия задачи следует, что произошло два изменения цены, но каждый раз от разной. Составим таблицу и внесем в неё данные.

После второй уценки новая цена 0,9 · 0,9х = 0,81х. Новая цена составляет 81 процент от первоначальной. Значит первоначальная цена уменьшилась на 19 %.

Ответ: на 19 %.

Задача 4. Цену товара снизили на 10 %, а через месяц повысили на 10 %. Стала ли новая цена равна первоначальной?

Как и в задаче 3 проценты вычисляются от разных величин.

Окончательная цена 1,1 · 0,9х = 0,99х, т.е. 99 % от первоначальной цены.

Ответ: Новая цена ниже первоначальной на 1 %.